Modulação multiportadora

Introdução

Modução multiportadora é amplamente utilizada em:

• Sistemas de comunicação com fio: DSL, DOCSIS.
• Sistemas de comunicação sem fio: WiFi, 4G/5G, TV digital.

Transmissor multiportadora

Seja $N$ um inteiro, que representa o número de subcanais. Seja $f_k$, para $k \in [0:N)$, a frequência de cada subportadora, e seja $\Delta\!f$ o espaçamento (uniforme) entre elas. Então,

\[ f_k = f_0 + k \, \Delta\!f, \]

para $k \in [0 : N)$.

O diagrama de um transmissor multiportadora é dado abaixo, em que $X[k]$, para $k \in [0:N)$, são símbolos complexos a serem transmitidos, à taxa $R_\mathrm{s}$. Note que a taxa de cada subcanal é $\bar{R}_\mathrm{s} = R_\mathrm{s} / N$.

O sinal transmitido é dado por

\[ s(t) = \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, g(t) \cos(2\pi f_k t), \]

em que $g(t)$ é o pulso de formatação utilizado (pulso retangular, pulso cosseno levantado, etc.).

Por simplicidade, o diagrama assumiu símbolos reais. No caso geral,

\[ \begin{aligned} s(t) & = \sum_{k=0}^{N-1} \Big[ \mathrm{Re}\{X[k]\} \, g(t) \cos(2\pi f_k t) - \mathrm{Im}\{X[k]\} \, g(t) \sin(2\pi f_k t) \Big] \\ & = \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{Re} \Big\{ X[k] \, g(t) \, \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi f_k t} \Big\}. \end{aligned} \]

Subcanais sem sobreposição espectral

O esquema mais simples e ingênuo (mas não utilizado na prática) considera subcanais sem sobreposição espectral. O receptor multiportadora no caso sem sobreposição espectral pode ser implementado como abaixo.

Subcanais com sobreposição espectral

É possível melhorar a eficiência espectral utilizando subcanais que se sobrepõem na frequência. Porém, para que o receptor consiga separar cada subcanal, é necessário que as subportadoras sejam ortogonais: \[ \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \cos(2\pi f_i t + \theta_i) \ g(t) \cos(2\pi f_j t + \theta_j) \mathrm{d}t ~ = ~ \begin{cases} 1 & \text{se } i = j, \\ 0 & \text{se } i \neq j. \end{cases} \] O receptor multiportadora no caso com sobreposição espectral pode ser implementado como abaixo. Por exemplo, a saída do amostrador 0, supondo $r(t) = s(t)$ é \[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} r(t) \, g(t) \cos(2\pi f_0 t) \, \mathrm{d}t & = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, g(t) \cos(2\pi f_k t + \phi_k) \right] g(t) \cos(2\pi f_0 t) \, \mathrm{d}t \\ & = \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \cos(2\pi f_k t + \phi_k) \ g(t) \cos(2\pi f_0 t) \, \mathrm{d}t \\ & = \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, \delta[k] \\ & = X[0]. \end{aligned} \]

Implementação no domínio digital

A implementação de um sistema multiportadora inteiramente no domínio analógico requer o uso de $N$ osciladores. Para contornar esse problema, pode-se implementar parte do sistema no domínio digital.

Para tanto, primeiro obtém-se a representação em banda base do sinal transmitido. Assumindo espaçamento entre as subportadoras de $\Delta \! f = \bar{R}_\mathrm{s}$, tem-se

\[ \begin{aligned} s(t) & = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{Re} \Big\{ X[k] g(t) \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi f_k t} \Big\} \\ & = \mathrm{Re} \Bigg\{\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] g(t) \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi f_k t} \Bigg\} \\ & = \mathrm{Re} \Bigg\{\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] g(t) \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi (f_0 + k\bar{R}_\mathrm{s}) t} \Bigg\} \\ & = \mathrm{Re} \Bigg\{ \left(\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] g(t) \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi k\bar{R}_\mathrm{s} t} \right) \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi f_0 t} \Bigg\}. \end{aligned} \]

Portanto,

\[ x(t) \triangleq \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] g(t) \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi k\bar{R}_\mathrm{s} t} \]

é a representação em banda base de $s(t)$, com relação à frequência $f_0$.

Amostrando o sinal à taxa $R_\mathrm{s} = 1 / T_\mathrm{s}$, obtém-se

\[ \begin{aligned} x[n] & = x(n T_\mathrm{s}) \\ & = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi k\bar{R}_\mathrm{s} n T_\mathrm{s}} \\ & = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \mathrm{e}^{\,\mathrm{j}2\pi k n / N} \\ & = \mathrm{DFT}^{-1} \big\{ X[k] \big\}. \end{aligned} \]

Portanto, $x[n]$, ou seja, o sinal transmitido em banda base e em tempo discreto, é a transformada discreta de Fourier inversa (IDFT) da sequência de símbolos $X[k]$.

Orthonal Frequency Division Multiplexing

O diagrama de blocos a seguir mostra um sistema OFDM (orthonal frequency-division multiplexing), que é um sistema multiportadora com implementação no domínio digital.

Prefixo cíclico

O prefixo cíclico consiste em replicar as $\mu$ últimas amostras de $x[n]$ no início de cada bloco ODFM. Naturalmente, deve-se ter $\mu \leq N$.

O prefixo cíclico transforma uma convolução convencional em uma convolução circular.

Lembrando que o modelo em tempo discreto do canal com seletividade em frequência é

\[ y[n] = h[n] \star x[n] = \sum_{i=0}^{L_h-1} h[i] x[n-i] \]

(convolução convencional), em que $L_h$ é o comprimento do canal, em amostras.

No entanto, a convolução convencional não se transforma no produto das DFTs.

// Exemplo Octave

O prefixo cíclico acarreta em um overhead de $\mu / N$, diminuindo a eficiência espectral do sistema.

Como consequência, a relação entre a entrada $X[k]$ e a saída $Y[k]$ se simplifica para $Y[k] = H[k] X[k] + W[k]$, onde $H[k]$ é o ganho do $k$-ésimo subcanal e $W[k]$ é ruído. A figura abaixo mostra o modelo equivalente de cada subcanal.

Portanto, a equalização pode ser feita no domínio da frequência, apenas invertendo o ganho do subcanal, ou seja, o sinal equalizado $\tilde{X}[k]$ pode ser calculado como

\[ \tilde{X}[k] = \frac{ Y[k]}{H[k]}, \] para $k \in [0 : N)$.

Desafios práticos

Modulação multiportadora têm os seguintes desafios:

• Alta PAPR (peak-to-average power ratio). O sinal modulado multiportadora apresenta alta PAPR, o que é indesejado pois exige amplificadores de potência mais lineares (os quais costumam ser menos eficientes em termos de potência).

• ICI (intercarrier interference). Foi visto que para garantir a ortogonalidade entre as subportadoras, é necessário que a separação entre elas seja de $\Delta \! f = \bar{R}_\mathrm{s} = R_\mathrm{s} / N$. Na prática, isso pode não ocorrer devido a descasamento de frequência dos osciladores, efeito Doppler, erros de sincronização, etc.

Estudo de caso: IEEE 802.11a/g

Os padrões IEEE 802.11a e 802.11g utilizam OFDM.

Bibliografia

1. Andrea Goldsmith: Wireless Communications, Cambridge University Press, 2005.