Processos de Poisson
Revisão: Variável aleatória de Poisson
Definição. Distribuição de Poisson.
Uma variável aleatória $X$ com distribuição de Poisson é uma VA discreta com PMF dada por p_X(x) = \mathrm{e}^{-\mu} \, \dfrac{\mu^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, onde $\mu > 0$. Nesse caso, utiliza-se a notação $X \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$.
Siméon Denis Poisson (1781–1840).
Exemplo.
Exemplos de aplicações [Wikipedia]:
Outros exemplos em telecomunicações:
- Número de acessos a um servidor em um dado intervalo de tempo.
- Número de usuários ativos de um sistema celular em uma dada área geográfica.
Definição. Evento.
Aquilo que está sendo contado é denominado de evento.
Nas aplicações anteriores, os eventos são: chamadas telefônicas, chegadas de fótons, ocorrências de mutações, chegadas de clientes, etc.
Teorema.
Seja $X \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$. Então, a média de $X$ é \[ \mathrm{E}[X] = \mu. \] Demonstração.
\[ \mathrm{E}[X] = \sum_{x \in S_X} x \, p_X(x) = \sum_{x=0}^\infty x \, \mathrm{e}^{-\mu} \frac{\mu^x}{x!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu \sum_{x=1}^\infty \frac{\mu^{x-1}}{(x - 1)!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu \sum_{n=0}^\infty \frac{\mu^n}{n!} = \mu. \]
O parâmetro $\mu$ representa o número médio de ocorrências de eventos no intervalo em questão.
Teorema.
Seja $X \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$. Então, a variância de $X$ é \[ \mathrm{var}[X] = \mu. \] Demonstração.
\[ \mathrm{E}[X(X-1)] = \sum_{x \in S_X} x(x-1) \, p_X(x) = \sum_{x=0}^\infty x(x-1) \, \mathrm{e}^{-\mu} \frac{\mu^x}{x!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu^2 \sum_{x=2}^\infty \frac{\mu^{x - 2}}{(x - 2)!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{\mu^n}{n!} = \mu^2. \] \[ \mathrm{var}[X] = \mathrm{E}[X^2] - \mathrm{E}[X]^2 = \mathrm{E}[X(X-1)+X] - \mathrm{E}[X]^2 = \mathrm{E}[X(X-1)] + \mathrm{E}[X] - \mathrm{E}[X]^2 = \mu^2 + \mu - \mu^2 = \mu. \]
Processos de contagem
Definição. Processo de contagem.
Um processo de contagem é um processo estocástico de tempo contínuo $X(t)$ com as seguintes propriedades:
- $X(t) = 0$, para $t \leq 0$.
- $X(t)$ assume apenas valores inteiros.
- $X(t)$ é não-decrescente.
- $X(t)$ é contínuo pela direita (convenção).
Exemplo.
Definição. Número de ocorrências de eventos em um intervalo.
Seja
\[ X(t_1, t_2] = X(t_2) - X(t_1), \]isto é, $X(t_1, t_2]$ representa o número de ocorrências de eventos no intervalo $\big( t_1, t_2 \big]$. Em particular,
\[ X(t) = X(0, t]. \]
Para $t_1$ e $t_2$ especificados, $X(t_1, t_2]$ é uma VA discreta.
Definição. Instante de ocorrência e tempo entre ocorrências.
Instantes de ocorrência (occurrence times ): \[ T_1, \qquad T_2, \qquad T_3, \qquad \ldots \] Tempos entre as ocorrências (interoccurrence times ): \[ \Delta_0 = T_1, \qquad \Delta_1 = T_2 - T_1, \qquad \Delta_2 = T_3 - T_2, \qquad \ldots \]
Ambas são sequências de VAs contínuas.
Teorema. Relação entre $X(t)$ e $T_k$.
\[ X(t) \geq k \quad \iff \quad T_k \leq t. \]
Processos de Poisson
Definição. Processo de Poisson.
Um processo de contagem $X(t)$ é dito ser um processo de Poisson de taxa $\lambda$ se
- $X(t_1, t_2] \sim \mathrm{Poisson} \big( \lambda(t_2 - t_1) \big)$, qualquer que seja o intervalo $\big( t_1, t_2 \big]$.
- $X(t_1, t_2]$ e $X(t'_1, t'_2]$ são independentes, quaisquer que sejam os intervalos $\big( t_1, t_2 \big]$ e $\big( t_1', t_2' \big]$ disjuntos.
O parâmetro $\lambda > 0$ representa o número médio de ocorrências de eventos por unidade de tempo.
From: Wolfram Research (2012), PoissonProcess, Wolfram Language function.
Teorema. Momentos de 1ª e 2ª ordem.
Seja $X(t)$ um processo de Poisson de taxa $\lambda$. Então, a função média de $X(t)$ é dada por
e a função autocovariância de $X(t)$ é dada por
Em particular, processos de Poisson são não-estacionários.
Teorema. Tempo entre ocorrências e instantes de ocorrência.
Considere um processo de Poisson de taxa $\lambda$. Então, os tempos entre as ocorrências são i.i.d. de acordo com a distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$, isto é,
para $k = 0, 1, \ldots$. Como consequência, os instantes de ocorrência são distribuídos de acordo com a distribuição de Erlang (distribuição gama) com parâmetros $k$ e $\lambda$, isto é,
para $k = 1, 2, \ldots$.
Agner Krarup Erlang (1878–1929).
Na verdade, um processo de contagem é um processo de Poisson de taxa $\lambda$ se e somente se os tempos entre as ocorrências são i.i.d. de acordo com a distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$.
Exemplo.
Seja $X(t)$ um processo de Poisson de taxa $\lambda = 3~\text{eventos/s}$.
- Considere o intervalo de tempo compreendido entre $5$ e $15~\text{s}$. Determine a quantidade média de eventos ocorridos neste intervalo, bem como a probabilidade de ocorrer pelo menos 25 eventos, também neste intervalo.
- Determine o instante médio de ocorrência do sexto evento, bem como a probabilidade de que o sexto evento ocorra antes de $1.25$ segundos.
(a) A quantidade de eventos ocorridos entre os instantes $5$ e $15~\text{s}$ é
\[ X[5, 15) \sim \mathrm{Poisson}(\mu = 3 \cdot (15 - 5)) = \mathrm{Poisson}(\mu \! = \! 30). \]Portanto,
\[ \mathrm{E}[X[5, 15)] = 30~\text{eventos} \]e
\[ \Pr[X[5, 15) \geq 25] = 0.84276. \](b) O instante de ocorrência do sexto evento é
\[ T_6 \sim \mathrm{Erlang}(k \! = \! 6, \lambda \! = \! 3). \]Por outro lado, sabemos que $T_6 = \Delta_0 + \Delta_1 + \cdots + \Delta_5$, e como
\[ \Delta_0, \Delta_1, \ldots, \Delta_5 \overset{\mathrm{iid}}{\sim} \mathrm{Exponential}(3), \]temos
\[ \mathrm{E}[T_6] = 6 \mathrm{E}[\Delta_k] = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2~\text{s}. \]Além disso, também sabemos que $T_6 \leq 1.25 \iff X(1.25) \geq 6$, e como
\[ X(1.25) = X[0, 1.25) ~ \sim \mathrm{Poisson}(\mu \! = \! 3.75), \]temos
\[ \Pr[T_6 \leq 1.25] = \Pr[X(1.25) \geq 6] = 0.17712. \]Teorema. Sobreposição.
Sejam $X_i(t)$, para $i = 1, \ldots, n$, processos de Poisson independentes de taxas $\lambda_i$. Então,
\[ X(t) = X_1(t) + \cdots + X_n(t) \]é um processo de Poisson de taxa $\lambda = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$.