Processos de Poisson

Revisão: Variável aleatória de Poisson

Definição. Distribuição de Poisson.
Uma variável aleatória $X$ com distribuição de Poisson é uma VA discreta com PMF dada por p_X(x) = \mathrm{e}^{-\mu} \, \dfrac{\mu^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, onde $\mu > 0$. Nesse caso, utiliza-se a notação $X \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$.
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Siméon Denis Poisson (1781–1840).
Exemplo.
Exemplos de aplicações [Wikipedia]:
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Outros exemplos em telecomunicações:
  • Número de acessos a um servidor em um dado intervalo de tempo.
  • Número de usuários ativos de um sistema celular em uma dada área geográfica.
Definição. Evento.
Aquilo que está sendo contado é denominado de evento.
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Nas aplicações anteriores, os eventos são: chamadas telefônicas, chegadas de fótons, ocorrências de mutações, chegadas de clientes, etc.
Teorema.
Seja $X \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$. Então, a média de $X$ é \[ \mathrm{E}[X] = \mu. \] Demonstração.
\[ \mathrm{E}[X] = \sum_{x \in S_X} x \, p_X(x) = \sum_{x=0}^\infty x \, \mathrm{e}^{-\mu} \frac{\mu^x}{x!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu \sum_{x=1}^\infty \frac{\mu^{x-1}}{(x - 1)!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu \sum_{n=0}^\infty \frac{\mu^n}{n!} = \mu. \]
O parâmetro $\mu$ representa o número médio de ocorrências de eventos no intervalo em questão.
Teorema.
Seja $X \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$. Então, a variância de $X$ é \[ \mathrm{var}[X] = \mu. \] Demonstração.
\[ \mathrm{E}[X(X-1)] = \sum_{x \in S_X} x(x-1) \, p_X(x) = \sum_{x=0}^\infty x(x-1) \, \mathrm{e}^{-\mu} \frac{\mu^x}{x!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu^2 \sum_{x=2}^\infty \frac{\mu^{x - 2}}{(x - 2)!} = \mathrm{e}^{-\mu} \, \mu^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{\mu^n}{n!} = \mu^2. \] \[ \mathrm{var}[X] = \mathrm{E}[X^2] - \mathrm{E}[X]^2 = \mathrm{E}[X(X-1)+X] - \mathrm{E}[X]^2 = \mathrm{E}[X(X-1)] + \mathrm{E}[X] - \mathrm{E}[X]^2 = \mu^2 + \mu - \mu^2 = \mu. \]

Processos de contagem

Definição. Processo de contagem.
Um processo de contagem é um processo estocástico de tempo contínuo $X(t)$ com as seguintes propriedades:
  1. $X(t) = 0$, para $t \leq 0$.
  2. $X(t)$ assume apenas valores inteiros.
  3. $X(t)$ é não-decrescente.
  4. $X(t)$ é contínuo pela direita (convenção).
Exemplo.
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Definição. Número de ocorrências de eventos em um intervalo.
Seja \[ X_{t_1, t_2} = X(t_2) - X(t_1), \] isto é, $X_{t_1, t_2}$ representa o número de ocorrências de eventos no intervalo $\big( t_1, t_2 \big]$.
Para $t_1$ e $t_2$ especificados, $X_{t_1, t_2}$ é uma VA discreta.
Definição. Instante de ocorrência e tempo entre ocorrências.
Instantes de ocorrência (occurrence times): \[ T_1, \qquad T_2, \qquad T_3, \qquad \ldots \] Tempos entre as ocorrências (interoccurrence times): \[ \Delta_0 = T_1, \qquad \Delta_1 = T_2 - T_1, \qquad \Delta_2 = T_3 - T_2, \qquad \ldots \]
Ambas são sequências de VAs contínuas.

Processos de Poisson

Definição. Processo de Poisson.
Um processo de contagem $X(t)$ é dito ser um processo de Poisson de taxa $\lambda$ se
  1. $X_{t_1, t_2} \sim \mathrm{Poisson} \big( \lambda(t_2 - t_1) \big)$, qualquer que seja o intervalo $\big( t_1, t_2 \big]$.
  2. $X_{t_1, t_2}$ e $X_{t_1', t_2'}$ são independentes, quaisquer que sejam os intervalos $\big( t_1, t_2 \big]$ e $\big( t_1', t_2' \big]$ disjuntos.
O parâmetro $\lambda > 0$ representa o número médio de ocorrências de eventos por unidade de tempo.
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From: Wolfram Research (2012), PoissonProcess, Wolfram Language function.
Teorema. Momentos de 1ª e 2ª ordem.

Seja $X(t)$ um processo de Poisson de taxa $\lambda$. Então, a função média de $X(t)$ é dada por

\mu_X(t) = \lambda t \, [t > 0].

e a função autocovariância de $X(t)$ é dada por

C_X(t_1, t_2) = \lambda \min \{ t_1, t_2 \} \, [t_1, t_2 > 0].
Em particular, $X(t)$ não é estacionário.
Teorema. Tempo entre ocorrências e instantes de ocorrência.

Seja $X(t)$ um processo de Poisson de taxa $\lambda$. Então, os tempos entre as ocorrências são i.i.d. de acordo com a distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$, isto é,

\Delta_n \overset{\mathrm{iid}}{\sim} \mathrm{Exp}(\lambda).

Além disso, os instantes de ocorrência são distribuídos de acordo com a distribuição de Erlang de parâmetros $n$ e $\lambda$, isto é,

T_n \sim \mathrm{Erlang}(n, \lambda).
Na verdade, um processo de contagem é um processo de Poisson de taxa $\lambda$ se e somente se $\Delta_n \overset{\mathrm{iid}}{\sim} \mathrm{Exp}(\lambda)$.
Exemplo.

Seja $X(t)$ um processo de Poisson de taxa $\lambda = 3~\text{eventos/s}$. Determine:

  1. A quantidade média de eventos ocorridos entre os instantes $5$ e $15~\text{s}$.
  2. O instante médio da sexta ocorrência.
Solução.

(a) A quantidade de eventos ocorridos entre os instantes $5$ e $15~\text{s}$ é dada por

\[ X_{5, 15} \sim \mathrm{Poisson}(3 \cdot (15 - 5)) = \mathrm{Poisson}(30). \]

Portanto,

\[ \mathrm{E}[X_{5, 15}] = 30~\text{eventos}. \]

(b) O instante da sexta ocorrência é dado por

\[ T_6 = \Delta_0 + \Delta_1 + \cdots + \Delta_5. \]

Como $\Delta_0, \Delta_1, \ldots, \Delta_5 \overset{\mathrm{iid}}{\sim} \mathrm{Exp}(3)$, temos

\[ \mathrm{E}[T_6] = 6 \mathrm{E}[\Delta_n] = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2~\text{s}. \]
Teorema. Sobreposição.

Sejam $X_i(t)$, para $i = 1, \ldots, k$, processos de Poisson independentes de taxas $\lambda_i$. Então,

\[ X(t) = X_1(t) + \cdots + X_k(t) \]

é um processo de Poisson de taxa $\lambda = \lambda_1 + \cdots + \lambda_k$.

Bibliografia

  1. Roy D. Yates; David J. Goodman: Probability and Stochastic Processes. A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, 3rd edition, Wiley, 2014.